Question

【題目】在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BE 平分∠ABC，D 是邊 AB 上一點，以 BD為直徑的⊙O 經過點 E，且交 BC 于點 F．

（1）求證：AC 是⊙O 的切線；

（2）若 BC＝8，⊙O 的半徑為 5，求 CE 的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4

【解析】

（1）連接OE，證明∠OEA=90°即可；
（2）連接OF，過點O作OH⊥BF交BF于H，由題意可知四邊形OECH為矩形，利用垂徑定理和勾股定理計算出OH的長，進而求出CE的長．

（1）證明：連接OE．

∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠OBE=∠EBC，
∴∠EBC=∠OEB，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OEA=90°，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：連接OE、OF，過點O作OH⊥BF交BF于H，

由題意可知四邊形OECH為矩形，
∴OH=CE，OE=CH=5，
∵BC=8，
∴BH=BC-HC= BC-OE =8-5 =3，
在Rt△BHO中，OB=5，
∴OH=，

∴CE=OH=4．