Question

（1）計算并觀察下列各式：（x-1）（x+1）=

 

；（x-1）（x²+x+1）=

 

；（x-1）（x³+x²+x+1）=

 

；
（2）從上面的算式及計算結果，你發現了什么？請根據你發現的規律直接寫下面的空格．（x-1）（

 

）=x⁶-1；
（3）利用你發現的規律計算：（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=

 

；
（4）利用該規律計算：1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰．

Answer 1

分析：（1）計算：（x-1）（x+1）=x²-1；（x-1）（x²+x+1）=x³-1；可以得出規律：（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+1）=（xⁿ-1），所以得出（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1；
（2）利用（1）得出的規律可得出（x-1）（x⁵+x⁴+x³+x²+x+1 ）=x⁶-1；
（3）利用（1）得出的規律可得出（x-1）（x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁷-1；
（4）兩邊乘以（3-1），利用（1）得出的規律可得出1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰=

32011-1

2

．

解答：解：（1）（x-1）（x+1）=x²-1，
（x-1）（x²+x+1）=x³+x²+x-x²-x-1=x³-1；
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴+x³+x²+x-x³-x²-x-1=x⁴-1，
即答案為：x²-1，x³-1，x⁴-1；
（2）由（1）可以推出：（x-1）（x^n-1+x^n-2+…+1））=（xⁿ-1），
所以題目中應填：x⁷-1；
（3）根據上面推出的規律可得答案為：x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
（4）1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰=（3-1）（1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁰）÷2=

32011-1

2

．

點評：通過觀察，分析、歸納并發現其中的規律，并應用發現的規律解決問題是應該具備的基本能力．本題的關鍵規律為：（x-1）（x^n-1+x^n-3+…+1）=（xⁿ-1）．