Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點A、點B，直線CD與x軸、y軸分別交于點C、點D，AB與CD相交于點E，線段OA、OC的長是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的兩根（OA＞OC），BE＝5，OB=OA．

(1)求點A、點C的坐標；

(2)求直線CD的解析式；

(3)在x軸上是否存在點P，使點C、點E、點P為頂點的三角形與△DCO相似？若存在，請求出點P的坐標；如不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（12，0）；C（﹣6，0）；（2）y＝﹣x+8；（3）存在；P的坐標是（19，0）和（3，0）．

【解析】

（1）首先解方程x2-18x+72=0求得方程的根，則A和C的坐標即可求得；

（2）根據三角函數求得B的坐標，作EF⊥x軸于點F，根據△AEF∽△ABO，利用相似三角形的性質求得EF和OF的長，即可求得E的坐標利用待定系數法確定函數關系式；

（3）設P的坐標是（p，0），則PC=p+6．分成△COD∽△CEP和△COD∽△CPE兩種情況進行討論即可求解．

解：（1）x2﹣18x+72＝0即（x﹣12）（x﹣6）＝0，

則x﹣12＝0，x﹣6＝0，

解得：x＝12或x＝6，

又∵OA＞OC，

∴OA＝12，OC＝6，

∴A的坐標是（12，0），C的坐標是（﹣6，0）．

（2）∵,

∴,

則B的坐標是（0，16）．

作EF⊥x軸于點F．

則△AEF∽△ABO，

∴,

∴

∴AF＝9，EF＝12，

則OF＝12﹣9＝3，

則E的坐標是（3，12）．

設直線CD的解析式是y＝kx+b，則

解得：,

則直線CD的解析式是y＝x+8；

（3）設P的坐標是（p，0），則PC＝p+6．

當△COD∽△CEP時，，即，

解得：d＝19，

則P的坐標是（19，0）；

當△COD∽△CPE時，，則,

解得：p＝3，

則P的坐標是（3，0）

總之，P的坐標是（19，0）和（3，0）．