Question

如圖，在周長為9cm的四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，且AC=BD=3cm，順次連接OA、OB、OC、OD的中點得四邊形A₁B₁C₁D₁，順次連接OA₁、OB₁、OC₁、OD₁的中點得四邊形A₂B₂C₂D₂，依此作下去…，得四邊形A_nB_nC_nD_n，則A_nB_nC_nD_n的周長為______cm，面積為______cm²．（用含n的代數式表示）

Answer 1

由于A₁、B₁、C₁、D₁分別是OA、OB、OC、OD的中點，
因此A₁B₁=

1

2

AB，B₁C₁=

1

2

BC，C₁D₁=

1

2

CD，A₁D₁=

1

2

AD，
易證得四邊形A₁B₁C₁D₁∽四邊形ABCD，且相似比為1：2，即

1

2

：1；
同理可證得四邊形A_nB_nC_nD_n與四邊形ABCD的相似比為：

1

2n

：1，則面積比為：

1

22n

：1；
∵四邊形ABCD的周長為9cm，面積為

1

2

AC×BD=

9

2

cm²，
∴四邊形A_nB_nC_nD_n的周長為

9

2n

cm，面積為

9

22n+1

cm²．