Question

如圖，在周長為9cm的四邊形ABCD中，AC⊥BD于點O，且AC=BD=3cm，順次連接OA、OB、OC、OD的中點得四邊形A₁B₁C₁D₁，順次連接OA₁、OB₁、OC₁、OD₁的中點得四邊形A₂B₂C₂D₂，依此作下去…，得四邊形A_nB_nC_nD_n，則A_nB_nC_nD_n的周長為

 

cm，面積為

 

cm²．（用含n的代數式表示）

Answer 1

分析：根據題意可知，每次得到的四邊形的各邊的長都是上一個四邊形各邊長的

1

2

，因此第n個四邊形A_nB_nC_nD_n和四邊形ABCD的相似比應該是

1

2n

：1，然后根據相似多邊形的性質求解即可．

解答：解：由于A₁、B₁、C₁、D₁分別是OA、OB、OC、OD的中點，
因此A₁B₁=

1

2

AB，B₁C₁=

1

2

BC，C₁D₁=

1

2

CD，A₁D₁=

1

2

AD，
易證得四邊形A₁B₁C₁D₁∽四邊形ABCD，且相似比為1：2，即

1

2

：1；
同理可證得四邊形A_nB_nC_nD_n與四邊形ABCD的相似比為：

1

2n

：1，則面積比為：

1

22n

：1；
∵四邊形ABCD的周長為9cm，面積為

1

2

AC×BD=

9

2

cm²，
∴四邊形A_nB_nC_nD_n的周長為

9

2n

cm，面積為

9

22n+1

cm²．

點評：此題主要考查的是三角形中位線定理和相似多邊形的性質，相似多邊形的性質與相似三角形的性質類似，相似多邊形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方．