Question

小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：，在銷售過程中銷售單價不低于成本價，而每件的利潤不高于成本價的60%．
（1）設小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍．
（2）當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？
（3）如果小明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？
（成本＝進價×銷售量）

Answer 1

（1）；（2）當銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元；（3）3600.

解析試題分析：（1）由題意得，每月銷售量與銷售單價之間的關系可近似看作一次函數，利潤=（定價-進價）×銷售量，從而列出關系式；
（2）首先確定二次函數的對稱軸，然后根據其增減性確定最大利潤即可；
（3）根據拋物線的性質和圖象，求出每月的成本．
試題解析：（1）由題意，得：
.
（2）函數的圖象的對稱軸是直線，
又∵a=-10＜0，拋物線開口向下．∴當20≤x≤32時，w隨著x的增大而增大。
∴當x=32時，w=2160.
答：當銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元．
（3）取w=2000得，，解這個方程得：x₁=30，x₂=40。
∵a=-10＜0，拋物線開口向下．
∴當30≤x≤40時，w≥2000．
∵20≤x≤32，∴當30≤x≤32時，w≥2000．
設每月的成本為P（元），由題意，得，
∵k=-200＜0，∴P隨x的增大而減小．
∴當x=32時，P的值最小，P最小值=3600．
答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，小明每月的成本最少為3600元．
考點：一、二次函數和一元二次方程的應用．