Question

為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農”優惠政策，使農民收入大幅度增加．某農戶生產經銷一種農產品，已知這種產品的成本價為每千克20元，市場調查發現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y=﹣2x+80．設這種產品每天的銷售利潤為w元．
（1）求w與x之間的函數關系式．
（2）該產品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？
（3）如果物價部門規定這種產品的銷售價不高于每千克28元，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元？

Answer 1

(1) w與x的函數關系式為：w=﹣2x²+120x﹣1600；(2) 當x=30時，w有最大值．w最大值為200；（3）該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克25元．

解析試題分析：（1）銷售利潤w等于每千克的利潤（x-20）乘以銷售數量y，故得到關系式：w=（x﹣20）?y,再由y=-2x+80,代入得：y=（x﹣20）（﹣2x+80）,然后化簡即可.（2）由（1）得到w=﹣2x²+120x﹣1600,然后對這個函數式配方，化成頂點式，得到y=﹣2（x﹣30）²+200,當x=30時，函數有最大值，最大值為200，即售價定為30元時，每天的利潤最大，最大利潤是200元.(3)將w=150代入函數關系式w=﹣2（x﹣30）²+200得﹣2（x﹣30）²+200=150，解得：x₁=25，x₂=35，由于售價不能高于每千克28元，所以售價應定為每千克25元.歸納：方程求出解后，一定要出兩個方面檢驗根的正確性，一、檢驗是否是原方程的解；二、是否符合實際情況.
試題解析：（1）由題意得出：w=（x﹣20）?y=（x﹣20）（﹣2x+80）=﹣2x²+120x﹣1600，
故w與x的函數關系式為：w=﹣2x²+120x﹣1600；
（2）w=﹣2x²+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）²+200，
∵﹣2＜0，∴當x=30時，w有最大值．w最大值為200．
答：該產品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元．
（3）當w=150時，可得方程﹣2（x﹣30）²+200=150．
解得 x₁=25，x₂=35．    ∵35＞28，
∴x₂=35不符合題意，應舍去．
答：該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克25元．
考點：1、二次函數的應用；2、一元二次方程的應用.