Question

（2013•槐蔭區三模）如圖，已知直線l的解析式為y=-x+6，直線l與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，平行于直線l的直線n從原點出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設運動時間為t秒，運動過程中始終保持n∥l，當直線n與直線l重合時，運動結束．直線n與x軸，y軸分別相交于C、D兩點，以線段CD的中點P為圓心、CD為直徑，在CD上方作半圓，半圓面積為S．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）當t為何值時，半圓與直線l相切？
（3）直線n在運動過程中，
①求S與t的函數關系式；
②是否存在這樣的t值，使得半圓面積S=

π

4

S_梯形ABCD？若存在，求出t值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據一次函數解析式，求出A、B兩點坐標即可；
（2）分別過點D、P作DE⊥AB于點E，PF⊥AB于點F，利用當PF=PD時，半圓與l相切，求出即可；
（3）①由OA=OB=6，得出△AOB是等腰直角三角形，進而得出PD的長，即可得出答案；
②S_梯形ABCD=S_△AOB-S_△COD以及S=

π

4

S_梯形ABCD，求出即可．

解答：解：（1）∵y=-x+6，
令y=0，得0=-x+6，
解得：x=6．
∴A（6，0）．
令x=0，得y=6，
∴B（0，6）；

（2）分別過點D、P作DE⊥AB于點E，PF⊥AB于點F．
AD=OA-OD=6-t，
在Rt△ADE中，
sin∠EAD=

DE

AD

，
DE=

2

2

•(6-t)，
∴PF=DE=

2

2

•(6-t)．
當PF=PD時，半圓與l相切．
即

2

2

（6-t）=

2

2

t，
解得：t=3．
當t=3時，半圓與l相切；

（3）①∵OA=OB=6，
∴△AOB是等腰直角三角形．
∵n∥l，
∴∠CDO=∠BAO=45°，
∴△COD為等腰直角三角形，
OD=OC=t．
CD=

OC2+OD2

=

t2+t2

=

2

t，
∴PD=

1

2

CD=

2

2

t，

1

2

πPD²=

1

2

π（

2

2

t）²=

1

4

πt²，
∴S=

π

4

t2(0＜t≤6)；
②存在．
∵S_梯形ABCD=S_△AOB-S_△COD=

1

2

×6×6-

1

2

t×t=18-

1

2

t²，
S=

1

4

πt2．
若S=

π

4

S_梯形ABCD，則

1

4

πt2=

π

4

(18-

1

2

t2)，
∴t²=12，
解得：t=2

3

＜6，
∴存在t=2

3

，使得S=

π

4

S_梯形ABCD．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及等腰直角三角形的性質和切線的判定等知識，根據銳角三角函數關系得出PD的長是解題關鍵．