Question

【題目】已知，如圖，等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于點D，點P是BA延長線上一點，點O是線段AD上一點，OP＝OC，下列結論：①AC平分∠PAD；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等邊三角形；④AC＝AO+AP；其中正確的序號是（　　）

A.①③④B.②③C.①②④D.①③

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用等腰三角形等邊對等角和三角形外角的性質得到∠PAC＝∠DAC=60°，從而判斷；

②因為點O是線段AD上一點，所以BO不一定是∠ABD的角平分線，可作判斷；

③證明∠POC=60°且OP=OC，即可證得△OPC是等邊三角形；

④首先證明△OPA≌△CPE，則AO=CE，AC=AE+CE=AO+AP．

解：①∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC；

∴∠CAD＝∠BAC＝60°，∠PAC＝180°﹣∠CAB＝60°，

∴∠PAC＝∠DAC，

∴AC平分∠PAD，故①正確；

②由①知：∠APO＝∠ABO，∠DCO＝∠DBO，

∵點O是線段AD上一點，

∴∠ABO與∠DBO不一定相等，則∠APO與∠DCO不一定相等，

故②不正確；

③∵∠APC+∠DCP+∠PBC＝180°，

∴∠APC+∠DCP＝150°，

∵∠APO+∠DCO＝30°，

∴∠OPC+∠OCP＝120°，

∴∠POC＝180°﹣（∠OPC+∠OCP）＝60°，

∵OP＝OC，

∴△OPC是等邊三角形；

故③正確；

④如圖，在AC上截取AE＝PA，

∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，

∴△APE是等邊三角形，

∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，

∴∠APO+∠OPE＝60°，

∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，

∴∠APO＝∠CPE，

∵OP＝CP，

在△OPA和△CPE中， ，

∴△OPA≌△CPE（SAS），

∴AO＝CE，

∴AC＝AE+CE＝AO+AP；

故④正確．

故選：A．