Question

【題目】給出定義：設一條直線與一條拋物線只有一個公共點，且這條直線與這條拋物線的對稱軸不平行，就稱直線與拋物線相切，這條直線是拋物線的切線．有下列命題： ①直線y=0是拋物線y= x2的切線；
②直線x=﹣2與拋物線y= x2 相切于點（﹣2，1）；
③若直線y=x+b與拋物線y= x2相切，則相切于點（2，1）；
④若直線y=kx﹣2與拋物線y= x2相切，則實數k= ．
其中正確命題的是（ ）
A.①②④
B.①③
C.②③
D.①③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①∵直線y=0是x軸，拋物線y= x2的頂點在x軸上，∴直線y=0是拋物線y= x2的切線，故本小題正確； ②∵拋物線y= x2的頂點在x軸上，開口向上，直線x=﹣2與y軸平行，∴直線x=﹣2與拋物線y= x2 相交，故本小題錯誤；
③∵直線y=x+b與拋物線y= x2相切，∴ x2﹣x﹣b=0，∴△=（﹣1）2﹣4× b=1+b=0，解得b=﹣1．把b=﹣1代入 x2﹣x﹣b=0得x=2，把x=2代入拋物線解析式可知y=1，∴直線y=x+b與拋物線y= x2相切，則相切于點（2，1），故本小題正確；
④∵直線y=kx﹣2與拋物線y= x2 相切，∴ x2=kx﹣2，即 x2﹣kx+2=0，△=k2﹣2=0，解得k=± ，故本小題錯誤．
故選B．
【考點精析】本題主要考查了求根公式和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．