Question

【題目】類比轉化、從特殊到一般等思想方法，在數學學習和研究中經常用到，如下是一個案例，請補充完整.

（1）嘗試探究

如圖（1），在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E是BC邊上一點，AE與BD交于點G，過點E作EF⊥AE交AC于點F，若=2，則的值是 ；

（2）拓展遷移

如圖（2），在矩形ABCD中，過點B作BH⊥AC于點O，交AD相于點H，點E是BC邊上一點，AE與BH相交于點G，過點E作EF⊥AE交AC于點F.

①若∠BAE=∠ACB，sin∠EAF=，求tan∠ACB；

②若，=b（a＞0，b＞0），求的值（用含a，b的代數式表示）．

圖（1） 圖（2）

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②

【解析】

（1）過E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，由四邊形ABCD是正方形，得到AC⊥BD，∠ACB=∠DBC=45°，于是得到四邊形OMEN是矩形，△BEM與△CEN是等腰直角三角形，求得，然后根據△EMG∽△ENF，即可得到結論；
（2）①過E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，根據四邊形ABCD是矩形，

②過E作EN⊥AC于N，EM⊥BH于M，得到四邊形OMEN是矩形，由△MEG∽△NEF，得到 由于△ABC∽△CNE，求出由于△BEM∽△BCO，得到 求出EM=aCN，即可得到結論．

(1)過E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD,∠ACB=∠DBC=45°，

∴四邊形OMEN是矩形，△BEM與△CEN是等腰直角三角形，

∴

∵=2,∴,

∵EF⊥AE，

∴∠MEG=∠NEF，

∴△EMG∽△ENF，

∴

故答案為：；

(2) ①過E作EN⊥AC于N，EM⊥BD于M，

sin∠EAF=

設 則

∠BAE=∠ACB，

同理可得：

點G是AE的中點，

容易證明≌

②過E作EN⊥AC于N，EM⊥BH于M，

∵BH⊥AC，

∴四邊形OMEN是矩形，

∴，∵AE⊥EF，

∴∠MEG=∠NEF，

∴△MEG∽△NEF,

∴

∵

∴△ABC∽△CNE，

∴

∴

∵EM⊥BH，AC⊥BH，

∴EM∥AC，

∴△BEM∽△BCO，

∴

∵

∴

∴

∵ON=EM，

∴

∴EM=aCN，

∴

故答案為：