Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠BOC=120°，將有一30度角的直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．（圖中∠OMN=30°，∠NOM=90°）
（1）將圖1中的三角板繞點O逆時針旋轉至圖2，使OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，問直線ON是否平分∠AOC？請說明理由；
（2）將圖1中的三角板繞點O按每秒6°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，求t；
（3）將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請探究：∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線ON平分∠AOC；

理由：

設ON的反向延長線為OD，

∵OM平分∠BOC，

∴∠MOC=∠MOB=60°，

又∵OM⊥ON，

∴∠MON=90°，

∴∠BON=30°，

∴∠CON=120°+30°=150°，

∴∠COD=30°，

∴OD平分∠AOC，

即直線ON平分∠AOC

（2）解：由（1）可知∠BON=30°，∠DON=180°

因此ON旋轉60°或240°時直線ON平分∠AOC，

由題意得，6t=60°或240°，

∴t=10或40

（3）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°

【解析】（1）由角的平分線的定義和等角的余角相等求解；（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，則∠AON=30°或∠NOR=30°，即順時針旋轉300°或120°時ON平分∠AOC，據此求解；（3）因為∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．
【考點精析】掌握角的平分線和余角和補角的特征是解答本題的根本，需要知道從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線；互余、互補是指兩個角的數量關系，與兩個角的位置無關．