Question

【題目】如圖，在中，，．動點從點出發，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動，當點與點、不重合時，過點作交折線于點，以為邊向左作正方形．設正方形與重疊部分圖形的面積為（平方單位），點運動的時間為（秒）．

　　　　 備用圖

（1）用含的代數式表示的長．

（2）直接寫出點在內部時的取值范圍．

（3）求與之間的函數關系式．

（4）直接寫出點落在的中位線所在直線上時的值．

Answer 1

【答案】（1）PQ=；（2）；（3）當時，；當時，；當時，；（4），，，．

【解析】

（1）分兩種情況討論:當點Q在線段AB上時,當點Q在線段AC上時;

（2）先計算M在邊AB上時t的值,根據點M在△ABC內部時兩個邊界點即可解答;

（3）分三種情況:

①0＜t≤1時,正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是四邊形DNPQ,

②當1＜t＜ 時,正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是五邊形ODNPQ,

③當≤t＜2時,正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是正方形MNPQ,

分別計算面積即可;

（4）點M落在△ABC的中位線所在直線上時,存在四種情況,畫圖可解答．

解:（1）由題意得:BP＝2t,

如圖1,過A作AD⊥BC于D,

∵AB＝AC＝,BC＝4,

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴AD＝,

∴tan∠B＝＝,

分兩種情況:

①當點Q在線段AB上時,即0＜t≤1時,如圖2,

∴tan∠B＝,

∴PQ＝t;

②當點Q在線段AC上時,即1＜t＜2時,如圖3,

∴tan∠C＝tan∠B＝＝,

∴PQ＝PC＝＝2﹣t;

（2）當M在邊AB上時,如圖4,

由（1）知:MN＝PQ＝2﹣t＝PN,

tan∠B＝＝,

∴BN＝2MN,

∵BP＝BN+PN,

∴2t＝3MN＝3（2﹣t）,

t＝,

∴點M在△ABC內部時t的取值范圍是＜t＜2;

（3）分三種情況:

①0＜t≤1時,如圖5,正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是四邊形DNPQ,

BP＝2t,PQ＝PN＝MD＝t,

∴BN＝2t﹣t＝t,

∴DN＝t＝DM,

∴S＝S正方形MNPQ﹣S△MDQ＝;

②當1＜t＜時,如圖6,正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是五邊形ODNPQ,

∵PQ＝PN＝MN＝2﹣t,

∴BN＝BP﹣PN＝2t﹣（2﹣t）＝3t﹣2,

∵tan∠B＝,DN＝BN＝ ,

∴DM＝MN﹣DN＝2﹣t﹣＝3﹣t,

∵tan∠MOD＝tan∠B＝＝,

∴OM＝2MD,

∴S＝S正方形MNPQ﹣S△MDO＝（2﹣t）2﹣＝（2﹣t）2﹣＝﹣ +11t﹣5;

③當≤t＜2時,如圖7,正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形是正方形MNPQ,

S＝PQ2＝（2﹣t）2＝t2﹣4t+4;

綜上,S與t之間的函數關系式為:S＝；

（4）存在四種情況:

①如圖8,M在中位線MQ上,則Q是AB的中點,BQ＝,

∴BP＝1＝2t,

t＝;

②如圖9,M在中位線MT上,則T是BC的中點,BT＝2,

∴MT∥AC,

∴∠C＝∠BTM,

∴tan∠BTM＝,

∴NT＝BP,

∵BP+TN﹣BT＝PN,

∴2t+2t﹣2＝t,t＝;

③如圖10,M在中位線MQ上,

∴Q是AC的中點,

同理得CP＝1＝4﹣2t,t＝,

④如圖11,M在中位線MT上,T是BC的中點,

CP＝TN＝4﹣2t,PQ＝PN＝2﹣t,

∵CT＝TN+PN+PC,

∴2＝2（4﹣2t）+2﹣t,

t＝;

綜上,t的值是秒或秒或秒或秒．