Question

已知關于x的一元二次方程x²＋2（m－2）x＋m²＋4＝0的兩實數根是和.
（1）求m的取值范圍；
（2）如果²＋²－＝21 ，求m的值.

Answer 1

詳見解析

試題分析：（1)m的取值范圍，可由一元二次方程的根的判別式構建不等式求解。因為原方程有兩實數根，所以△=b²-4ac≥0，將a、b、c代入解不等式即可求解。
利用一元二次方程的根與系數的關系，是解題的關鍵.由根與系數的關系可知：x₁＋x₂=-2(m-2)=4-2m,
x₁·x₂＝m²＋4，利用配方法把原方程化為一元二次方程的一般形式，即（x₁＋x₂）²-3x₁·x₂-21=0.所以（4-2m）²-3（m²+4）-21=0，解方程求解，再利用m的取值范圍確定m的取值.
試題解析：
解：(1）∵方程由兩個實數根
∴△=b²－4ac＝4﹙m－2﹚²－4﹙m²＋4﹚≥0
∴m≤0
（2）由根與系數的關系知：x₁＋x₂＝﹣2（m－2）=4-2m，x₁·x₂＝m²＋4
∵ x₁²＋x₂²－x₁·x₂＝21
∴﹙x₁＋x₂﹚²－3x₁·x₂＝21
∴4﹙m－2﹚²－3﹙m²＋4﹚＝21
m²－16m－17＝0
﹙m－17﹚﹙m＋1﹚＝0
m₁＝17，m₂＝﹣1
∵m≤0
∴m＝﹣1