Question

已知關于x的方程x²－(m+2)x+(2m－1)=0.
(1)求證：無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若此方程的一個根是1，請求出m的值及方程的另一個根，并求以此兩根作為兩邊的等腰三角形(不是等邊三角形)的周長.

Answer 1

(1)詳見解析;(2)m=2,x₂="3,C=7" .

試題分析：（1）用一元二次方程的判別式來判斷方程的解的情況，如果判別式大于0，說明一元二次方程有兩個不相等的實數根，如果判別式等于0，說明一元二次方程有兩個相等的實數根，如果判別式小于0，說明一元二次方程沒有實數根.(2)將x=1代入原方程，求出m的值，用根與系數的關系定理求出另一根.
試題解析：（1）△=(m+2)²-4(2m-1)=m²+4m+4-8m+4=m²-4m+8=(m-2)²+4＞0,所以原方程無論m取何值，總有兩個不相等的實數根.
(2)將x=1代入原方程得：1-(m+2)+(2m-1)=0,m=2,所以原方程化為：x²-4x+3=0,由根與系數的關系知：1+x₁=4,所以x₁=3,以1，3為邊的等腰三角形只能是1，3，3.所以三角形的周長是7.