Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B為反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上兩點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)與B點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為1，將（x＞0）的圖象繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′．
（1）求旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式；
（2）求A′、B′點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）連接AB′、動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿線段AB'以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)B′運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N同時(shí)從B′點(diǎn)出發(fā)沿線段B′A′以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A′運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，試探究：是否存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵A為反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上的點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）．
分別過A、A′作AM⊥y軸于M，A′N⊥x軸于N，連接OA，OA′．
∵將（x＞0）的圖象繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，
∴∠AOA′=90°，OA=OA′．
在△OAM與△OA′N中，∠AOM=∠A′ON=90°-∠AON，∠AMO=∠A′NO=90°，OA=OA′，
∴△OAM≌△OA′N，
∴OM=ON=4，AM=A′N=1，
∴A′的坐標(biāo)為（4，-1），
∴旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式為y=-；

（2）∵B為反比例函數(shù)（x＞0）的圖象上兩點(diǎn)，B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，
∴B（4，1），
又∵將（x＞0）的圖象繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A'，B點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'，
上問求出A點(diǎn)坐標(biāo)（1，4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（4，-1），
同理求出B點(diǎn)坐標(biāo)（4，1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1，-4）；

（3）設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b，
則4k+b=-1，k+b=-4，
解得k=1，b=-5，
∴y=x-5，
∴∠A′B′A=45°．
如果△MNB'為等腰直角三角形，那么分兩種情況：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．
∵AM=B′N=t，∴B′M=AB′-AM=8-t．
①當(dāng)∠B′NM=90°時(shí)，B′M=B′N，
∴8-t=t，解得t=8-8；
②當(dāng)∠B′MN=90°時(shí)，B′N=B′M，
∴t=（8-t），解得t=16-8．
∵A′B′==3，AB′=8，
∴0≤t≤3．
又∵16-8＞3，
∴t=16-8舍去．
故當(dāng)t=8-8時(shí)，△MNB'為等腰直角三角形．
分析：（1）首先把x=1代入反比例函數(shù)（x＞0）的解析式，求出對(duì)應(yīng)的y值，得到A點(diǎn)坐標(biāo)，然后由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠AOA′=90°，OA=OA′，如果分別過A、A′作AM⊥y軸于M，A′N⊥x軸于N，連接OA，OA′，易證△OAM≌△OA′N，得到A′的坐標(biāo)，從而求出旋轉(zhuǎn)后的圖象解析式；
（2）上問已經(jīng)求出A′的坐標(biāo)，同樣求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)；
（3）首先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線A′B′的解析式，由斜率k的值可知∠A′B′A=45°．然后假設(shè)存在使△MNB'為等腰直角三角形的t值，那么分兩種情況討論：①∠B′NM=90°；②∠B′MN=90°．針對(duì)每一種情況，都可以利用等腰直角三角形中斜邊是直角邊的倍列出方程，從而求出結(jié)果．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)、等腰直角三角形、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．要注意（3）首先需根據(jù)已知條件確定哪些角可能是直角，要考慮到所有的情況，不要漏解．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．