Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．

（1）求B、C兩點的坐標；
（2）在該拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）拋物線在第二象限內是否存在一點Q，使△QBC的面積最大？，若存在，求出點Q的坐標及△QBC的面積最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，

當y=0時，即﹣x2﹣2x+3=0，

解得：x1=﹣3，x2=1，

當x=0時，y=3，

∴B（﹣3，0）、C（0，3）

（2）

解：存在；

如圖1，∵拋物線的解析式為：y=﹣x2﹣2x+3，

∴拋物線的對稱軸x=﹣1，C（0，3）

∴C′（﹣2，3），

設直線AC′的解析式為：y=kx+b，

∵A（1，0），

∴ 解得 ，

∴直線AC′的解析式為：y=﹣x+1，

把x=﹣1代入直線AC′的解析式y=﹣x+1，得y=2，

∴P（﹣1，2）

（3）

解：存在；

如圖2，設Q（m，﹣m2﹣2m+3），過Q作QP⊥x軸于P，

∴OP=﹣m，PQ=﹣m2﹣2m+3，BP=3+m，

∴S△PBQ= BPPQ= （3+m）（﹣m2﹣2m+3），S四邊形QPOC= （OC+PQ）OP= （3﹣m2﹣2m+3）（﹣m），S△BOC= OBOC= ×3×3= ，

∴S△PBC=S△PBQ+S四邊形QPOC﹣S△BOC=﹣ m2﹣ m，

即S△PBC=﹣ m2﹣ m=﹣ （m+ ）2+ ，

∴當m=﹣ 時，△QBC的面積最大，最大值為 ；

∴Q（﹣ ， ）．

【解析】（1）根據拋物線與x軸的交點坐標與系數的關系即可求得；（2）根據軸對稱的性質先找出C的對稱點C′，然后連接AC′即可找到P點，最后根據A、C′的坐標求得直線AC′的解析式，即可求得P的坐標；（3）根據S△QBC=S△QBP+S四邊形QPOC﹣S△BOC即可求得解析式，根據解析式即可求得求出點Q的坐標及△QBC的面積最大值；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的圖象的相關知識，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．