Question

【題目】如圖1，已知一次函數y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，拋物線過A、B兩點，且與x軸交于另一點C．

（1）求b、c的值；

（2）如圖1，點D為AC的中點，點E在線段BD上，且BE=2ED，連接CE并延長交拋物線于點M，求點M的坐標；

（3）將直線AB繞點A按逆時針方向旋轉15°后交y軸于點G，連接CG，如圖2，P為△ACG內以點，連接PA、PC、PG，分別以AP、AG為邊，在他們的左側作等邊△APR，等邊△AGQ，連接QR

①求證：PG=RQ；

②求PA+PC+PG的最小值，并求出當PA+PC+PG取得最小值時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M（，）；（3）①證明見解析；②PA+PC+PG的最小值為，此時點P的坐標（﹣，）．

【解析】

試題分析：（1）把A（﹣3，0），B（0，3）代入拋物線即可解決問題．

（2）首先求出A、C、D坐標，根據BE=2ED，求出點E坐標，求出直線CE，利用方程組求交點坐標M．

（3）①欲證明PG=QR，只要證明△QAR≌△GAP即可．②當Q、R、P、C共線時，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K，由sin∠ACM==求出AM，CM，利用等邊三角形性質求出AP、PM、PC，由此即可解決問題．

試題解析：（1）∵一次函數y=x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，∴A（﹣3，0），B（0，3），∵拋物線過A、B兩點，∴，解得：，∴b=﹣2，c=3．

（2），對于拋物線，令y=0，則，解得x=﹣3或1，∴點C坐標（1，0），∵AD=DC=2，∴點D坐標（﹣1，0），∵BE=2ED，∴點E坐標（，1），設直線CE為y=kx+b，把E、C代入得到：，解得：，∴直線CE為，由，解得或，∴點M坐標（，）．

（3）①∵△AGQ，△APR是等邊三角形，∴AP=AR，AQ=AG，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP，在△QAR和△GAP中，∵AQ=AG，∠QAR=∠GAP，AR=AP，∴△QAR≌△GAP，∴QR=PG．

②如圖3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC，∴當Q、R、P、C共線時，PA+PG+PC最小，作QN⊥OA于N，AM⊥QC于M，PK⊥OA于K．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴點Q坐標（﹣6，），在RT△QCN中，QN=，CN=7，∠QNC=90°，∴QC==，∵sin∠ACM==，∴AM=，∵△APR是等邊三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR，cos30°=，∴AP=，PM=RM=，∴MC==，∴PC=CM﹣PM=，∵，∴CK=，PK=，∴OK=CK﹣CO=，∴點P坐標（﹣，），∴PA+PC+PG的最小值為，此時點P的坐標（﹣，）．