Question

某科研所投資200萬元，成功地研制出一種市場需求量較大的汽配零件，并投入資金700萬元進行批量生產．已知每個零件成本20元．通過市場銷售調查發現：當銷售單價定為50元時，年銷售量為20萬件；銷售單價每增加1元，年銷售量將減少1000件．設銷售單價為x元，年銷售量為y（萬件），年獲利為z（萬元）
（1）試寫出y與x之間的函數關系式（不必寫出x的取值范圍）
（2）試寫出z與x之間的函數關系式（不必寫出x的取值范圍）
（3）當銷售單價定為多少時，年獲利最多？并求出這個年利潤．

Answer 1

（1）當銷售單價為x元時，銷量為：[20-0.1（x-50）]萬件，
故可得：y=20-0.1（x-50）=25-0.1x；

（2）z=（x-20）y-200-700=（x-20）（25-0.1x）-900=-0.1x²+27x-1400；

（3）z=-0.1x²+27x-1400=-0.1（x-135）²+422.5，
當x=135時，年獲利最大，年利潤為422.5萬元．
答：當銷售單價定為135元時，年獲利最大，最大年利潤為422.5萬元．