Question

已知拋物線y=ax²+bx+3交x軸于點A（x₁，0）、B（-1，0）且x₁＞0，AO²+BO²=10，拋物線交y軸于點C，點D為拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）證明△ADC是直角三角形；
（3）第一象限內，在拋物線上是否存在一點E，使∠ECO=∠ACB？若存在，求出點E的坐標．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+3交x軸于點A（x₁，0）、B（-1，0）
∴AO²+（-1）²=10，
∴AO²=9，
∴AO=±3，∴A（3，0）
把A（3，0）、B（-1，0）代入y=ax²+bx+3得：

9a+3b+3=0 a-b+3=0

解得：

a=-1 b=2

，
∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+3；

（2）證明：∵拋物線的解析式：
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點D（1，4）
由（1）得：∴AC²=3²+3²=18，
CD²=2，AD²=20，
∴AD²=CD²+AC²，
∴△ADC是直角三角形．

（3）過A作AG⊥AC交CE于G，過G作GH⊥x軸于H，
∵∠ECO=∠ACB，∴∠ECA=∠BCO，
∵∠COB=∠CAG，
∴Rt△BOC∽Rt△GAC，
∴

OB

AG

=

OC

AC

，
∴

1

AG

=

3

3 2

，
∴AG=

2

由OC=OA，GH⊥x軸，
∴AH=GH，∴AH²+GH²=AG²
得AH=GH=1，
∴G點坐標為（4，1），
將C（0，3），G（4，1）代入y=kx+c得：

c=3 4k+c=1

，
解得：

k=- 1 2 c=3

∴直線CG的解析式為：y=-

1

2

x+3，
聯立：y=-

1

2

x+3與y=-x²+2x+3，
-

1

2

x+3=-x²+2x+3，
解得：x₁=

5

2

，x₂=0（與A點重合舍去），
x=

5

2

時，y=

7

4

，
∴E（

5

2

，

7

4

）．