Question

【題目】在正方形ABCD的邊AB上任取一點E，作EF⊥AB交BD于點F，取FD的中點G，連結EG、CG.

（1）如圖1，求證EG=CG且EG⊥CG.

（2）如圖2將△BEF繞點B逆時針旋轉90度，求線段EG和CG有怎么樣的關系，并證明你的結論.

（3）如圖3,將△BEF繞點B逆時針旋轉180度，線段EG和CG有怎么樣的關系?寫出你的猜想，不需證明.

Answer 1

【答案】（1）EG=CG,且EG⊥CG.證明見解析；（2）證明見解析；（3）EG=CG且EG⊥CG.

【解析】（1）過點G作GH⊥BD于G交CD于H，通過條件證明△HGE≌△ICG，就可以得出結論EG=CG，EG⊥CG；

（2）作GH⊥BC于H，根據平行線等分線段定理就可以得出EH=CH，再根據中垂線的性質就可以得出EG=EC，過點G作GP⊥BD于G交CB于P，最后通過證明三角形全等就可以得出結論EG⊥CG；

（3）延長FE交DC延長線于M，連MG．可證四邊形BEMC是矩形，得到BE=CM，∠EMC=90°．再證△BEF為等腰直角三角形，得到BE=EF，∠F=45°，EF=CM．

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MG=FD=FG．通過證明

FM=DM和∠F=∠GMC．得到△GFE≌△GMC，即可得到結論．

（1）過GH⊥AB于點H，延長HG交CD于點I，作GK⊥AD于點K．

則四邊形GIDK是正方形，四邊形AKGH是矩形，∴AK=HG，KD=DI=GI=AH．

∵AD=CD，∴IC=HG．

∵AD∥GH∥EF，G是DF的中點，∴HA=HE，∴HE=GI．

在Rt△HGE和Rt△ICG中，∵，∴Rt△HGE≌Rt△ICG（SAS），∴EG=CG，∠HGE=∠GCI，∠HEG=∠CGI，∴∠HGE+∠CGI=90°，∴∠EGC=90°，∴EG⊥CG；

（2）EG=CG，且EG⊥CG． 證明如下：

圖2中，作GH⊥BC，則EF∥GH∥CD．

又∵G是DF的中點，∴EH=CH，則GH是BC的中垂線，∴GE=CG．

∵EF=EB，BC=CD

∴EF+CD=EC．

∵G是DF的中點，EH=CH，則GH=（EF+CD），∴GH=EC，∴△EGC是等腰直角三角形，∴EG=CG，且EG⊥CG；

（3）結論：EG=CG，且EG⊥CG．理由如下：

延長FE交DC延長線于M，連MG．

∵∠AEM=90°，∠EBC=90°，∠BCM=90°，∴四邊形BEMC是矩形，∴BE=CM，∠EMC=90°．

∵BD平分∠ABC，∠ABC=90°，∴∠EBF=45°．

又∵EF⊥AB，∴△BEF為等腰直角三角形，

∴BE=EF，∠F=45°，∴EF=CM．

∵∠EMC=90°，FG=DG，

∴MG=FD=FG．

∵BC=EM，BC=CD，∴EM=CD．

∵EF=CM，∴EF+EM=CM+DC，即FM=DM．

又∵FG=DG，∠CMG=∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC．

在△GFE和△GMC中，∵，∴△GFE≌△GMC（SAS），∴EG=CG，∠FGE=∠MGC．

∵∠FMC=90°，MF=MD，FG=DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE+∠EGM=90°，∴∠MGC+∠EGM=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．