Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，以AD，OD為鄰邊作平行四邊形ADOE，連接BE．

（1）求證：四邊形AOBE是菱形；

（2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝3，求四邊形ADOE的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

(1) 根據矩形的性質有OA=OB=OC=OD，根據四邊形ADOE是平行四邊形，得到OD∥AE，AE=OD. 等量代換得到AE=OB，即可證明四邊形AOBE為平行四邊形，根據有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

(2)根據菱形的性質有∠EAB=∠BAO，根據矩形的性質有AB∥CD，根據平行線的性質有∠BAC=∠ACD，求出∠DCA=60°，求出AD=，根據面積公式SΔADC，即可求解．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴DO＝BO．

∵四邊形ADOE是平行四邊形，

∴AE∥DO，AE＝DO，AD∥OE．

∴AE∥BO，AE＝BO．

∴四邊形AOBE是平行四邊形．

∵AD⊥AB，AD∥OE，

∴AB⊥OE．

∴四邊形AOBE是菱形；

（2）設AB與EO交點為M．

∵AB∥CD，

∴∠DCO＝∠BAO．

∵四邊形AOBE是菱形，

∴∠EAO＝2∠BAO．

∵∠EAO+∠DCO＝180°，

∴∠BAO＝120°，∠EAM＝60°．

又AM＝AB＝，

∴EM＝，

∴EO＝，

∴△AEO面積為××＝，

∴四邊形ADOE面積＝．