Question

【題目】如圖，射線AM上有一點(diǎn)B，AB=6，點(diǎn)C是射線AM上異于B的一點(diǎn)，過(guò)C作CD⊥AM，且CD= AC，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AD，交射線AM于E，在射線CD取點(diǎn)F，使得CF=CB，連接AF并延長(zhǎng)，交DE于點(diǎn)G，設(shè)AC=3x．

（1）當(dāng)C在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，求AD．DF的長(zhǎng)．（用關(guān)于x的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△AFD是等腰三角形；
（3）作點(diǎn)D關(guān)于AG的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接FD′，GD′，若四邊形DFD′G是平行四邊形，求x的值．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵CD= ，AC=3x，

∴CD=4x，

∵CD⊥AM，

∴∠ACD=90°，

由勾股定理得：AD=5x，

∵AB=6，C在B點(diǎn)右側(cè)，

∴BC=AC﹣AB=3x﹣6，

∵BC=FC=3x﹣6，

∴DF=CD﹣FC=4x﹣（3x﹣6）=x+6

（2）

解：分兩種情況：

①當(dāng)C在B點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，

∴AC＞AB，

∴F必在線段CD上，

∵∠ACD=90°，

∴∠AFD是鈍角，若△ADF為等腰三角形，只可能AF=DF，過(guò)F作FN⊥AD于N，如圖2，

∴AN=ND=2.5x，

cos∠ADC= = ，

，

x= ；

②當(dāng)C在線段AB上時(shí)，同理可知若△ADF為等腰三角形，只可能AF=DF，

i）當(dāng)CF＜CD時(shí)，過(guò)F作FN⊥AD于N，如圖3，

∵AB=6，AC=3x，

∴BC=CF=6﹣3x，

∴DF=4x﹣（6﹣3x）=7x﹣6，

cos∠ADC= ，

∴ ，

x= ，

ii）當(dāng)CF＞CD時(shí)，如圖4，

BC=CF=6﹣3x，

∴FD=AD=6﹣3x﹣4x=6﹣7x，

則6﹣7x=5x，

x= ，

綜上所述，當(dāng)x= 或 或 時(shí)，△AFD是等腰三角形

（3）

解：∵四邊形DFD′G是平行四邊形，且DF=D′F，

∴DFD′G是菱形，

∴DF=DG，

∴∠DFG=∠DGF，

∵∠AFC=∠DFG，

∴∠DGF=∠AFC，

∵∠ACD=∠ADG=90°，

∴∠FAC=∠DAG，

即AF平分∠DAC，

過(guò)F作FN⊥AD于N，

當(dāng)C在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖2，

FN=FC=3x﹣6，DF=x+6，

sin∠CDA= ，

解得：x=4，

當(dāng)C在AB邊上時(shí)，如圖5，

FN=FC=6﹣3x，

DF=7x﹣6，

sin∠CDA= = ，

x= ，

綜上所述，若四邊形DFD′G是平行四邊形，x的值是4或

【解析】（1）由已知條件可得：CD=4x，根據(jù)勾股定理得：AD=5x，由AB=6且C在B點(diǎn)右側(cè)，可以依次表示BC、CF、DF的長(zhǎng)；（2）分兩種情況：①當(dāng)C在B點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，AF=DF，②當(dāng)C在線段AB上時(shí)，又分兩種情況：i）當(dāng)CF＜CD時(shí)，如圖3，ii）當(dāng)CF＞CD時(shí)，如圖4，由AF=DF，作等腰三角形的高線FN，由等腰三角形三線合一得：AN=ND=2.5x，利用同角的三角函數(shù)列比例式可求得x的值；（3）先根據(jù)四邊形DFD′G是平行四邊形證明它為菱形，由角的關(guān)系得：AF平分∠DAC，作輔助線，由角平分線的性質(zhì)得：FN=FC，根據(jù)第2問(wèn)分兩種情況進(jìn)行計(jì)算，根據(jù)同角的三角函數(shù)列式可求得x的值．