Question

【題目】如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N．

(1)求證：CM＝CN；

(2)若△CMN的面積與△CDN的面積比為3：1，ND＝1．

①求MC的長．

②求MN的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)①MC＝3；②MN=2.

【解析】

（1）根據折疊可得∠AMN=∠CMN，再根據平行可得∠ANM=∠CMN，可證CM=CN
（2）①根據等高的兩個三角形的面積比等于邊的比，可求MC的長．
②作NF⊥MC，可得矩形NFCD，根據勾股定理可求CD，則可得NF，MF，再根據勾股定理可求MN的長．

解：(1)∵折疊

∴CM＝AM，CN＝AN，∠AMN＝∠CMN

∵ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠ANM＝∠CMN

∴∠ANM＝∠AMN

∴CM＝CN

(2)①∵AD∥BC

∴△CMN和△CDN是等高的兩個三角形

∴S△CMN：S△CDN＝3：1＝CM：DN且DN＝1

∴MC＝3

②∵CM＝CN

∴CN＝3且DN＝1

∴根據勾股定理 CD＝2

如圖作NF⊥MC

∵NF⊥MC，∠D＝∠DCB＝90°

∴NFCD是矩形

∴NF＝CD＝2，FC＝DN＝1

∴MF＝2

在Rt△MNF中，MN＝＝2