Question

閱讀理解：對于任意正實數(shù)a，b，∵(

a

-

b

)2≥0，∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

，只有點a=b時，等號成立．
結(jié)論：在a+b≥2

ab

（a，b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，只有當(dāng)a=b時，a+b有最小值2

p

．
根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：
（1）若m＞0，只有當(dāng)m=

 

時，m+

1

m

有最小值

 

；
（2）思考驗證：如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上任意一點，（與點A，B不重合）．過點C作CD⊥AB，垂足為D，AD=a，DB=b．
試根據(jù)圖形驗證a+b≥2

ab

，并指出等號成立時的條件．

Answer 1

分析：（1）可列式m+

1

m

≥2

m× 1 m

，求得相關(guān)值即可；
（2）易得△ACD∽△CBD可得CD與

ab

之間的關(guān)系，根據(jù)半徑與a，b之間的等量關(guān)系，以及半徑大于CD可得相關(guān)結(jié)論．

解答：解：（1）∵m+

1

m

≥2

m× 1 m

，
∴當(dāng)m=1時，m+

1

m

有最小值2；（2分）

（2）證明：∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB（1分），
∴CD²=AD•BD=ab（2分），
∵CD＞0，
∴CD=

ab

（1分），
∵r=

a+b

2

，
∴在Rt△OCD中，r=

a+b

2

＞CD，即

a+b

2

＞

ab

（1分），
∴a+b＞2

ab

（1分），
當(dāng)CD=r即D與O重合時，

a+b

2

=

ab

，
即a+b=2

ab

，
∴a+b≥2

ab

．（2分）

點評：本題主要考查a+b≥2

ab

（a，b均為正實數(shù)）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，只有當(dāng)a=b時，a+b有最小值2

p

；注意運用類比的思想把相關(guān)知識加以運用．