Question

【題目】如圖所示，已知□ABCD中，對角線AC，BD交于點O，E是BD延長線上的點，且△ACE是等邊三角形．

（1）四邊形ABCD是菱形嗎？請說明理由；

（2）若∠AED=2∠EAD，試說明四邊形ABCD是正方形．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ABCD是菱形，理由見解析;（2）理由見解析.

【解析】分析:(1)根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．∵△ACE是等邊三角形，∴EO⊥AC(三線合一)，即AC⊥BD.∴四邊形ABCD是菱形；

(2)根據有一個角是90°的菱形是正方形．由題意易得∠DAO=∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠DAB=2∠ADO=90°，∴四邊形ABCD是正方形．

解：（1）四邊形ABCD是菱形，理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴OA=OC，即O是AC的中點.

∵△ACE是等邊三角形． ∴OE⊥AC， ∴BD⊥AC， ∴□ABCD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AO=CO

∵△ACE是等邊三角形 ∴∠AEC=∠EAC=60°，∠AED=30°，

∵∠AED=2∠EAD， ∴∠EAD=15° ∴∠DAO=∠ADO=45°，

∵四邊形ABCD是菱形； ∴∠DAB=90° ∴四邊形ABCD是正方形.

點睛: 此題主要考查菱形和正方形的判定，要靈活應用判定定理及等腰三角形的性質、外角的性質定理：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；有一個角是直角的菱形是正方形；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩內角之和.