Question

（2012•濟寧）如圖，拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（4，0）、B（-2，0）兩點，與y軸交于點C，點P是線段AB上一動點（端點除外），過點P作PD∥AC，交BC于點D，連接CP．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）當動點P運動到何處時，BP²=BD•BC；
（3）當△PCD的面積最大時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）該拋物線的解析式中有兩個待定系數，只需將點A、B的坐標代入解析式中求解即可．
（2）首先設出點P的坐標，由PD∥AC得到△BPD∽△BAC，通過比例線段可表示出BD的長；BC的長易得，根據題干給出的條件BP²=BD•BC即可求出點P的坐標．
（3）由于PD∥AC，根據相似三角形△BPD、△BAC的面積比，可表示出△BPD的面積；以BP為底，OC為高，易表示出△BPC的面積，△BPC、△BPD的面積差為△PDC的面積，通過所列二次函數的性質，即可確定點P的坐標．

解答：解：（1）由題意，得

16a+4b-4=0 4a-2b-4=0

，
解得

a= 1 2 b=-1

，
∴拋物線的解析式為y=

1

2

x2-x-4；

（2）設點P運動到點（x，0）時，有BP²=BD•BC，
令x=0時，則y=-4，
∴點C的坐標為（0，-4）．
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BAC，
∴

BD

BC

=

BP

BA

．
∵BC=

BO2+OC2

=

22+42

=2

5

，
AB=6，BP=x-（-2）=x+2．
∴BD=

BP×BC

BA

=

2 5 (x+2)

6

=

5 (x+2)

3

．
∵BP²=BD•BC，
∴（x+2）²=

5 (x+2)

3

×2

5

，
解得x₁=

4

3

，x₂=-2（-2不合題意，舍去），
∴點P的坐標是（

4

3

，0），即當點P運動到（

4

3

，0）時，BP²=BD•BC；

（3）∵△BPD∽△BAC，
∴

S△BPD

S△BAC

=(

BP

AB

)2，
∴S△BPD=(

BP

AB

)2•S△BAC= (

x+2

6

)2×

1

2

×6×4=

(x+2)2

3

S_△PDC=S_△PBC-S_△PBD=

1

2

×（x+2）×4-

(x+2)2

3

= -

1

3

(x-1)2+3
∵-

1

3

＜0，
∴當x=1時，S_△PDC有最大值為3．
即點P的坐標為（1，0）時，△PDC的面積最大．

點評：該題綜合了相似三角形、圖形面積的求法等知識，難度系數大，（3）題中，將所求三角形的面積進行適當的轉化是解題的關鍵所在．