Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，∠ABC=90，AE∥CD交BC于E，O是AC的中點，AB=，AD=2，BC=3，下列結論：

①∠CAE=30；②AC=2AB；③S△ADC=2S△ABE；④BO⊥CD，其中正確的是（）

A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】試題分析：根據梯形的性質和直角三角形中的邊角關系，逐個進行驗證，即可得出結論．

解：在直角三角形ABC中，∵AB=，BC=3，

∴tan∠ACB=．

∴∠ACB=30°．

∴∠BAC=60°，AC=2AB=2．②是正確的

∵AD∥BC，AE∥CD，

∴四邊形ADCE是平行四邊形．

∴CE=AD=2．

∴BE=1．

在直角三角形ABE中，tan∠BAE=，∠BAE=30°．

∴∠CAE=30°．①是正確的

∴AE=2BE=2．

∵AE=CE，

∴平行四邊形ADCE是菱形．

∴∠DCE=∠DAE=60°．

∴∠BAE=30°

又∵∠CAE=30°

∴∠BAO=60°

又∵AB=AO

∴△AOB是等邊三角形，

∴∠ABO=60°．

∴∠OBE=30°．

∴BO⊥CD．④是正確的．

∵AD∥BC，AD=2BE．

∴S△ADC=2S△ABE，③是正確的．

∴①②③④都是正確的，故選D．