Question

（2013•豐臺區一模）我們把函數圖象與x軸交點的橫坐標稱為這個函數的零點．如函數y=2x+1的圖象與x軸交點的坐標為（-

1

2

，0），所以該函數的零點是-

1

2

．
（1）函數y=x²+4x-5的零點是

-5或1

；
（2）如圖，將邊長為1的正方形ABCD放置在平面直角坐標系xOy中，且頂點A在x軸上．若正方形ABCD沿x軸正方向滾動，即先以頂點A為中心順時針旋轉，當頂點B落在x軸上時，再以頂點B為中心順時針旋轉，如此繼續．頂點D的軌跡是一函數的圖象，則該函數在其兩個相鄰零點間的圖象與x軸所圍區域的面積為

π+1

．

Answer 1

分析：（1）將y=0代入y=x²+4x-5，得x²+4x-5=0，解方程求出x的值即為所求；
（2）正方形ABCD沿x軸正方向滾動時，從頂點D落在x軸上的時候開始計算，到下一次D點落在x軸上，這個過程中四個頂點依次落在了x軸上，而每兩個頂點間距離為正方形的邊長1，其頂點D從首次落在x軸上和第二次落在x軸上時所畫出的軌跡就是函數在其兩個相鄰零點間的圖象，畫出圖形，不難算出它與x軸所圍區域的面積．

解答：解：（1）∵y=x²+4x-5，
∴當y=0時，x²+4x-5=0，
解得x=-5或1．
故答案為-5或1；

（2）考察D點的運動軌跡，D點從x軸上開始運動的時候，首先是圍繞A點運動

1

4

個圓，該圓半徑為1，然后以B點為中心，滾動到C點落地，其間是以BD為半徑，旋轉90°，然后以C為圓心，再旋轉90°，這時候以CD為半徑，因此最終構成圖象如右所示：
故其與x軸所圍成的圖形面積為S=

1

2

π×1²+

1

4

×π×（

2

）²+2×

1

2

×1×1=π+1．
故答案為：-5或1；π+1．

點評：本題實際上是正方形沿直線無滑動運動時有關頂點的擺線問題，本題考查了函數零點的概念及圖形面積的計算，充分考查學生分析問題和解決問題的能力，是一道能力立意的創新題．對于初中生來說，有一定難度．