Question

如圖，△ABC的內切圓分別切AB、BC、AC于D、E、F三點，其中P、Q兩點分別在

DE

、

DF

上．若∠A=30°，∠B=80°，則

DPE

的長與

DQF

的長之比為

 

．

Answer 1

分析：由于

DPE

、

DQF

所在的圓是同一個圓，因此半徑相同，那么它們的弧長比應等于圓心角的度數比；設△ABC的內切圓為⊙O，連接OD、OE、OF，由切線的性質知OE⊥BC、OD⊥AB、OF⊥AC，由此可得∠DOE、∠B互補，∠DOF、∠A互補，由此求得兩段弧的圓心角，即可得解．

解答：解：設△ABC的內切圓的圓心為O，連接OD、OE、OF；
則OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC；
∴∠ODB=∠OEB=∠ODA=∠OFA=90°，
∴∠DOE=180°-∠B=100°，∠DOF=180°-∠A=150°；
設⊙O的半徑為R，則：

DPE

的長=

100×πR

180

，

DQF

的長=

150×πR

180

，
故

DPE

的長與

DQF

的長之比為：

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點評：此題主要考查了三角形的內切圓以及弧長的計算公式，難度不大．