Question

【題目】有這樣一個問題：探究函數y＝x+|x﹣2|的圖象與性質

小明根據學習函數的經驗，對函數y＝x+|x﹣2|的圖象與性質進行了探究

下面是小明的探究過程，請補充完成：

（1）化簡函數解析式，當x≥2時，y＝　 　；當x＜2時，y＝　 　；

（2）根據（1）中的結果，請在圖1的坐標系中畫出函數y＝x+|x﹣2|的圖象；

（3）結合函數的圖象，寫出該函數的一條性質：　 　；

（4）結合畫出的函數圖象，利用圖2解決問題，若關于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有兩個實數根，直接寫出實數a的取值范圍：　 　．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x﹣2； y＝2；（2）詳見解析；（3）當x＞2時，y隨x的增大而增大；（4）0.5＜a＜2．

【解析】

（1）根據題目中的函數解析式，可以分別寫出x≥2和x＜2時的函數解析式；

（2）根據（1）中的結果，可以在圖1的坐標系中畫出函數y＝x+|x﹣2|的圖象；

（3）根據（1）中的函數圖象，可以寫出函數y＝x+|x﹣2|的一條性質，本題答案不唯一，只要符合題意即可；

（4）根據一次函數與方程的關系，可以得到關于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有兩個實數根時，a的取值范圍．

（1）當x≥2時，y＝x+|x﹣2|＝x+x﹣2＝2x﹣2，

當x＜2時，y＝x+|x﹣2|＝x+2﹣x＝2，

故答案為：2x﹣2，2；

（2）當x≥2時，y＝2x﹣2過點（2，2），（3，4），

函數y＝x+|x﹣2|的圖象如圖1所示；

（3）由圖象可知，

當x＞2時，y隨x的增大而增大，

故答案為：當x＞2時，y隨x的增大而增大；

（4）∵y＝ax+1的函數圖象一定過點（0，1）

∴當y＝ax+1中的a＝2時，直線y＝ax+1與直線y＝x+|x﹣2|有一個交點，

當a≥2或a＜0時，y＝ax+1與y＝x+|x﹣2|有一個交點，

當直線y＝ax+1過點（2，2）時，2＝2a+1，得a＝0.5，故當0≤a＜0.5時，y＝ax+1與y＝x+|x﹣2|沒有交點，當a＝0.5時，y＝ax+1與y＝x+|x﹣2|有一個交點，

由上可得，關于x的方程ax+1＝x+|x﹣2|有兩個實數根，實數a的取值范圍是：0.5＜a＜2，

故答案為：0.5＜a＜2．