Question

如圖1，已知P為正方形ABCD的對角線AC上一點（不與A、C重合），PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F．
（1）試說明：BP=DP；
（2）如圖2，若正方形PECF繞點C按逆時針方向旋轉，在旋轉過程中是否總有BP=DP？若是，請給予證明；若不是，請畫圖用反例加以說明；
（3）試選取正方形ABCD的兩個頂點，分別與正方形PECF的兩個頂點連接，使得到的兩條線段在正方形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中長度始終相等，并證明你的結論；
（4）旋轉的過程中AP和DF的長度是否相等？若不等，直接寫出AP：DF=

 

；
（5）若正方形ABCD的邊長是4，正方形PECF的邊長是1．把正方形PECF繞點C按逆時針方向旋轉的過程中，△PBD的面積是否存在最大值、最小值？如果存在，試求出最大值、最小值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求簡單的相等，可證線段所在的三角形全等，即證△ADP≌△ABP即可．
（2）顯然BP、PD不會總是相等，例如：當P不在直線AC上時，連接AP，顯然∠BAP≠∠DAP，那么△BAP、△DAP不全等，因此BP、PD不會相等．
（3）此題較簡單，例如選線段DF、BE，當P位于直線AC上時，顯然兩者相等；若P不位于直線AC上時，可通過證△BCE≌△DCF來證得所求的結論．
（4）AP、DF顯然不相等，圖2中，連接AP，證△APC∽△DFC即可．
（5）連接BD，由于BD是定值，那么△PBD面積的大小與P到直線BD的距離有關；因此當△BPD得面積最小或最大時，點P都位于直線AC上，可據此求解．

解答：解：（1）證明：如圖1；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAP=∠DAP=45°；
又∵AP=AP，
∴△BAP≌△DAP，
∴BP=PD．

（2）BP、PD不會總相等；理由如下：
如圖2，連接AP；
當P不在直線AC上時，∠BAP≠∠DAP，
∴△BAP與△DAP不全等，故BP≠PD．

（3）選連接DF、BE；
證明：①當P在線段AC上時，由于CF=CE，BC=CD；
則DF=BE=BC-CE=CD-CF；
②當P不在直線AC上時，連接BE、DF；
∵BC=CD、CF=CE、∠BCE=∠DCF（旋轉角），
∴△DCF≌△BCE，即BE=DF；
③當P在線段AC的延長線上時，證法同①；
綜上可知：連接DF、BE，則DF、BE的長總相等．

（4）連接AP、PC；
∵四邊形ABCD、四邊形CFPE都是正方形，
∴

CF

CP

=

CD

AC

=

1

2

；
又∵∠ACP=∠DCF=45°-∠ACF，
∴△ACP∽△DCF，得：AP：DF=

2

：1．

（5）連接BD，由于BD是定值，而P到直線BD的距離隨正方形FPEC的旋轉而改變，因此△PBD的面積不是定值；
①如圖①，當P在線段AC上時，P到直線BD的距離最小，此時△PBD的面積最小；
易知：OC=2

2

，PC=

2

，則OP=OC-PC=

2

；
∴△PBD的面積：S_min=

1

2

×BD×OP=

1

2

×4

2

×

2

=4；
②如圖②，當P在線段AC的延長線上時，P到直線BD的距離最大，此時△PBD的面積最大
易知此時：OP=OC+CP=3

2

；
∴△PBD的面積：S_max=

1

2

×BD×OP=

1

2

×4

2

×3

2

=12．
綜上可知：△PBD的面積存在最大和最小值；
且最大值為12，最小值為4．

點評：此題主要考查了正方形的性質、圖形的旋轉變化、全等三角形及相似三角形的判定和性質、三角形面積的計算方法等知識的綜合應用能力，難度較大．