Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB=4，E是BC邊的中點， F是CD邊上的一點， 且DF=1．若M、N分別是線段AD、AE上的動點，則MN+MF的最小值為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

作點F關于AD的對稱點G，過點G作GN⊥AE于點N，交AD于點M，可證得MG=MF，△MDG≌△MDF，DF=DG=1 ，可推出MN+MF=NG，根據垂線段最短，可知此時MN+MF的最小值就是NG的長；利用正方形的性質，可求出BE的長，同時可以推出∠B=∠ANM=∠FDM，∠AMN=∠BAE=∠FMD，再利用有兩組對應角相等的三角形相似，可證得△ABE∽△MNA∽△FMD，然后利用相似三角形的性質及勾股定理就可求出MN，MG的長，由此看求出NG的長．

作點F關于AD的對稱點G，過點G作GN⊥AE于點N，交AD于點M，

∴MG=MF，△MDG≌△MDF，DF=DG=1

∴∠GMD=∠DMF

∴MN+MF=MN+MG=NG

根據垂線段最短，可知此時MN+MF的最小值就是NG的長．

∵正方形BCD，點E是BC的中點

∴BE=BC=AB=2

∴∠B=∠ANM=∠FDM=90°，∠BAE+∠MAN=90°，

∵∠AMN+∠MAN=90°，

∴∠AMN=∠BAE，

∵∠AMN=∠DMG

∴∠AMN=∠BAE=∠FMD

∴△ABE∽△MNA∽△FMD

∴即

解之：MD=2，

∴AM=AD-MD=4-2=2

∴

設AN=x，則MN=2x

∴AN2+MN2=AM2，

∴x2+4x2=4

解之：AN=x=

∴MN=2AN=；

在Rt△MDG中，MG=

∴NG=MN+MG=．

故答案為：．