Question

【題目】如圖，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，點O是邊AB上的一個動點，以點O為圓心，OA為半徑作⊙O，與邊AC交于點M．

（1）如圖1，當⊙O經過點C時，⊙O的直徑是　 　；

（2）如圖2，當⊙O與邊BC相切時，切點為點N，試求⊙O與△ABC重合部分的面積；

（3）如圖3，當⊙O與邊BC相交時，交點為E、F，設CM＝x，就判斷AEAF是否為定值，若是，求出這個定值；若不是，請用含x的代數式表示．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）不是定值，理由見解析

【解析】

（1）由AB是圓的直徑知∠C＝90°，再根據勾股定理求解可得；

（2）連結ON，OM，先證tan∠B＝知∠B＝30°，∠A＝60°，∠BON＝60°，∠AON＝120°，設ON＝OA＝r，證△OBN∽△ABC得，據此求出r的值，再計算出2S扇形MON和S△AOM，從而得出答案；

（3）設⊙O與AB的另一交點為G，連結GE，OM，證△AGE∽△AFC得，由AC＝2，CM＝x知AM＝2﹣x，再證∠AOM＝60°得OA＝AM＝2﹣x，AG＝2AO＝4﹣2x，從而知AEAF＝ACAG＝8﹣4x，據此得出答案．

（1）∵AB是圓的直徑，

∴∠C＝90°，

∵AC＝2，BC＝2，

∴AB＝4故答案為4；

（2）如圖2，連結ON，OM，

∵⊙O與邊BC相切于點N，

∴ON⊥BC

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，

∴tan∠B＝，

∴∠B＝30°，∠A＝60°，∠BON＝60°，∠AON＝120°，

∵OA＝OM，

∴∠OMA＝∠A＝60°，

∴∠AOM＝60°，∠MON＝60°，

設ON＝OA＝r，

∵∠BNO＝∠C＝90°，∠B＝∠B，

∴△OBN∽△ABC，

∴，即，

解得r＝，

∴2S扇形MON＝，

∵S△AOM＝，

∴⊙O與△ABC重合部分的面積是 ．

（3）AEAF不為定值，理由如下：

如圖3，設⊙O與AB的另一交點為G，連結GE，OM，

∵AG是⊙O的直徑，

∴∠GEA＝90°＝∠C，

在圓內接四邊形AGEF中，∠AGE+∠AFE＝180°，

∵∠AFC+∠AFE＝180°，

∴∠AGE＝∠AFC，

∴△AGE∽△AFC，

∴，

∵AC＝2，CM＝x，

∴AM＝2﹣x，

∵∠OMA＝∠OAM＝60°，

∴∠AOM＝60°，

∴OA＝AM＝2﹣x，

AG＝2AO＝4﹣2x，

∴AEAF＝ACAG＝8﹣4x，

∵x不是定值

∴AEAF不是定值．