Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于圓O，∠BAD=90°，AC為直徑，過點A作圓O的切線交CB的延長線于點E，過AC的三等分點F（靠近點C）作CE的平行線交AB于點G，連結CG．

（1）求證：AB=CD；
（2）求證：CD2=BEBC；
（3）當CG= ，BE= 時，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠BAD=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD；

（2）∵AE為⊙O的切線，

∴AE⊥AC，

∴∠EAB+∠BAC=90°，

∵∠BAC+∠ACB=90°，

∴∠EAB=∠ACB，

∵∠ABC=90°，

∴△ABE∽△CBA，

∴ ，

∴AB2=BEBC，

由（1）知：AB=CD，

∴CD2=BEBC；

（3）∵F是AC的三等分點，

∴AF=2FC，

∵FG∥BE，

∴△AFG∽△ACB，

∴ =2，

設BG=x，則AG=2x，

∴AB=3x，

在Rt△BCG中，CG= ，

∴BC2=（ ）2﹣x2，

BC= ，

由（2）得：AB2=BEBC，

（3x）2= ，

4x4+x2﹣3=0，

（x2+1）（4x2﹣3）=0，

x=± ，

∵x＞0，

∴x= ，

∴CD=AB=3x= ．

【解析】（1）要證AB=CD,由直徑的性質和已知條件可證四邊形ABCD是矩形，進而得出結論；（2）等積式CD2=BEBC由于無法構成三角形，因此須轉化為AB2=BEBC，變形為,須證△ABE∽△CBA，由已知和直徑的性質、切線的性質易證結論；（3）利用（2）的結論建立方程，AB2=BEBC
由已知三等分點AF=2FC，可推出AG=2BG，設出BG=x,得方程（3x）2= ，由（1）得CD=AB=3x=.