Question

【題目】如圖1，點E為正方形ABCD的邊AB上一點，EF⊥EC，且EF=EC，連接AF．

（1）求∠EAF的度數；

（2）如圖2，連接FC交BD于M，交AD于N．求證：BD=AF+2DM．

Answer 1

【答案】（1）∠EAF=135°．（2）詳見解析.

【解析】

（1）過點F作FM⊥AB并交AB的延長線于點M，只要證明△EBC≌△FME（AAS）即可解決問題；
（2）過點F作FG∥AB交BD于點G．首先證明四邊形ABGF為平行四邊形，再證明△FGM≌△DMC（AAS）即可解決問題；

（1）解：過點F作FM⊥AB并交AB的延長線于點M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B=∠M=∠CEF=90°，

∴∠MEF+∠CEB=90°，∠CEB+∠BCE=90°，

∴∠MEF=∠ECB，

∵EC=EF，

∴△EBC≌△FME（AAS）

∴FM=BE

∴EM=BC

∵BC=AB，

∴EM=AB，

∴EM﹣AE=AB﹣AE

∴AM=BE，

∴FM=AM，

∵FM⊥AB，

∴∠MAF=45°，

∴∠EAF=135°．

（2）證明：過點F作FG∥AB交BD于點G．

由（1）可知∠EAF=135°，

∵∠ABD=45°

∴∠EAF+∠ABD=180°，

∴AF∥BG，

∵FG∥AB，

∴四邊形ABGF為平行四邊形，

AF=BG，FG=AB，

∵AB=CD，

∴FG=CD，

∵AB∥CD，

∴FG∥CD，

∴∠FGM=∠CDM，

∵∠FMG=∠CMD

∴△FGM≌△CDM（AAS），

∴GM=DM，

∴DG=2DM，

∴BD=BG+DG=AF+2DM．