Question

【題目】如圖，在中，，過點的直線，為邊上一點，過點作，交直線于點，垂足為點，連接.

（1）求證：；

（2）如圖，當點是中點時，連接.

①四邊形是什么特殊四邊形？說明你的理由；

②當 時，四邊形是正方形.（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①菱形，理由見解析；②.

【解析】

（1）證明DE∥AC，利用平行四邊形的判定和性質得結論；
（2）①先證明四邊形BECD是平行四邊形，再利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半說明鄰邊相等，證明該四邊形是菱形；
②由菱形、正方形、平行四邊形的性質可得結論．

（1）∵

∴

∵,

∴

∴,.

∴四邊形為平行四邊形

∴.

（2）

①四邊形BECD是菱形．
∵由（Ⅰ）知：四邊形DECA是平行四邊形，
∴CE=DA，CE∥AD
在Rt△ABC中，∵點D是AB的中點，
∴BD=DC=DA，

∴四邊形BECD是菱形．
②當∠A=45°時，
由于四邊形DECA是平行四邊形，
∴∠EDB=∠A=45°，
又∵BE=BD，
∴∠BED=∠EDB=45°，
∴∠EBD=90°．
由于四邊形BECD是菱形，
∴四邊形BECD是正方形．
故答案為：45°