Question

如圖1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點D，取CB的中點E，DE的延長線與AB的延長線交于點P．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若OB=BP，AD=6，求BC的長；
（3）如圖2，連接OD，AE相交于點F，若tan∠C=2，求的值．

圖1                            圖2

Answer 1

（1）證明見解析；
（2）BC=4；
（3）．

試題分析：（1）連接BD、DO，OE，只要證明∠ODE=90°，OD是半徑，就可得到DE是⊙O的切線；
（2）根據△ADB∽△BDC，從而根據相似比不難求得BD的長；
（3）根據平行線分線段成比例進行分析．
試題解析：（1）如圖1，連接BD，OD，OE.

∵AB是直徑，
∴∠ADB=∠CDB=90°.
∵E是BC中點，
∴DE=EC=EB，
又∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴OD⊥DP，
∴PD是⊙O的切線；
（2）∵OB=BP，∠ODP=90°，
∴DB=OB=BP，即DB=OB=OD.
∴△ODB是等邊三角形.
∴∠DOB=60°.
∴∠A=30°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠C=60°.
∴∠CBD=30°.
∴，，
設，，
∵AD=6，
∴.
∴.
∴BC=4；
（3）如圖2，連接BD，OE.

∵tan∠C=2，∠CDB=90°，
∴=2.
又∵∠ABD=∠C=60°，
∴=2，
設，，，
∴AC=.
∵O是AB中點，E是BC中點，
∴，
∴，
∴．