Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，經過原點的拋物線y=-x2+4mx（m＞0）與x軸的另一個交點為點A，過點P（1，m）作直線PB⊥x軸，交拋物線于點B，作點B關于拋物線對稱軸的對稱點C（點B、C不重合），連結BC，當點P、B不重合時，以BP、BC為邊作矩形PBCQ，設矩形PBCQ的周長為l．

（1）當m=1時，求點A的坐標．

（2）當BC=時，求這條拋物線所對應的函數表達式．

（3）當點P在點B下方時，求l與m之間的函數關系．

（4）連結CP，以CP為直角邊作等腰直角三角形PCM，直接寫出點M落在坐標軸上時m的值．

Answer 1

【答案】(1) （4，0）；(2) y=-x2+x或y=-x2+x．（3）l=-2m+2．（4）m=，m=．

【解析】

試題分析：（1）根據自變量與函數值的對應關系，可得答案；

（2）根據BC的長，可得關于m的方程，根據解方程，可得m的值；

（3）根據周長公式，可得答案；

（4）利用直線PC的斜率求出直線PE的斜率，并求出直線PE的參數方程，討論點E在x軸與y軸的情況，并分別求出點E的參數坐標，根據PC=PE，利用兩點間距離公式求解．此題也可用開鎖法進行求解．

試題解析：（1）當m=1時，拋物線的解析式為y=-x2+4x．

當y=0時，-x2+4x=0，解得x1=0，x2=4，即A點坐標為（4，0）；

（2）當y=-x2+4mx中x=1時，y=4m-1，B（1，4m-1）．且拋物線的對稱軸為x=-=2m．

當點B在對稱軸左側時，即m＞時，BC=2（2m-1）=4m-2．

當BC=時，4m-2=．m=，這條拋物線的解析式為y=-x2+x．

當BC=時，2-4m=．m=，這條拋物線的解析式為y=-x2+x．

（3）當點B在對稱軸左側，同時點P在點B的下方，即＜m＜時，

l=2[2（1-2m）+（4m-1-m）]，l=-2m+2．

（4）分三種情況：P在對稱軸左側，P（1，m），B（1，4m-1），C（4m-1，4m-1），

BC=4m-2，BP=3m-1，

①若∠CPQ=90°，PC=PQ，如圖1，

此時，△CBP≌△PFQ，

∴CB=PF，即4m-2=m，解得m=，

②若∠PCQ=90°，CP=CQ，如圖2，

此時，△QFP≌△CDQ，

∴DF=CD，即4m-1=4m-1，方程無解；

∴此種情況不成立．

③如圖3，

B（1，4m-1），P（1，m），C（4m-1，4m-1），

若∠CPQ=90°，PC=PQ，△CBP≌△QFC，

BP=CF，即3m-1=4m-1，解得m=0（舍），

④如圖4，

∠CQP=90°，CQ=CP，

△CBP≌△PFQ，

BP=QF，即4m-1-m=1，解得m=；

⑤如圖5，

∠CQP=90°，CQ=CP，

△CBP≌△PFQ，

BC=PF，即2-4m=m，解得m=；

綜上所述：m=，m=．