Question

如圖一，平面直角坐標系中有一張矩形紙片OABC，O為坐標原點，A點坐標為(10，0)，C點坐標為(0，6)，D是BC邊上的動點(與點B，C不重合)，現將△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB邊上選取適當的點E，將△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直線DG、DF重合。
(1)如圖二，若翻折后點F落在OA邊上，求直線DE的函數關系式；
(2)設D(a，6)，E(10，b)，求b關于a的函數關系式，并求b的最小值；
(3)一般地，請你猜想直線DE與拋物線的公共點的個數，在圖二的情形中通過計算驗證你的猜想；如果直線DE與拋物線始終有公共點，請在圖一中作出這樣的公共點。

Answer 1

（1）y=-x+12（2）當a=5時，b_最小值=（3）見解析

（1）y=-x+12。
（2）當a=5時，b_最小值=
（3）猜想：直線DE與拋物線
證明：由（1）可知，DE所在直線為y=-x+12。
代入拋物線，得
化簡得x²-24x+144=0，所以△=0。
所以直線DE與拋物線
作法一：延長OF交DE于點H。
作法二：在DB上取點M，使DM=CD，過M作MH⊥BC，交DE于點H。
（1）當F落在OA上時，四邊形OCDF和四邊形DGEB都是正方形，因此CD=DF=OC=6，即D點的坐標為（6，6），而GF=DF-DG=DF-（BC-CD）=6-（10-6）=2，因此E點的坐標為（10，2）．然后可用待定系數法求出直線DE的解析式．
（2）根據D、E的坐標可知：CD=a，BE=6-b，BD=BC-CD=10-a，可根據相似三角形△OCD和△DBE得出的關于OC、CD、DB、BE的比例關系式求出b、a的函數關系式．然后可根據函數的性質得出b的最小值及對應的a的值．
（3）可將（1）中得出的直線DE的解析式聯立拋物線的解析式，看得出的一元二次方程的根的判別式△的值與0的關系即可得出交點的個數．