Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE，PF分別交AB，AC于點E，F，給出以下五個結論：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③△EPF是等腰三角形；④EF＝AP；⑤S四邊形AEPF＝S△APC.當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時(點E不與A，B重合)，其中正確的序號有________________.

Answer 1

【答案】①②③⑤

【解析】∵AB=AC,∠BAC=90°,點P是BC的中點,

∴AP⊥BC,AP=PC,∠EAP=∠C=45°,

∴∠APF+∠CPF=90°,

∵∠EPF是直角,

∴∠APF+∠APE=90°,∴∠APE=∠CPF,故②正確,

在△APE和△CPF中,

,

∴△APE≌△CPF（ASA）,

∴AE=CF,故①正確,∴△EFP是等腰直角三角形,故③正確,

根據等腰直角三角形的性質,EF=PE,

所以,EF隨著點E的變化而變化,只有當點E為AB的中點時,EF=PE=AP,

在其它位置時EF≠AP,故④錯誤,

∵△APE≌△CPF,

∴S△APE=S△CPF,

∴S四邊形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC=S△ABC,故⑤正確,綜上所述,故答案為:①②③⑤.