Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．點E、F、G分別從點A、B、C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向移動．點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，當點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止移動．設移動開始后第t秒時，△EFG的面積為S（cm2）
（1）當t=1秒時，S的值是多少？
（2）寫出S和t之間的函數解析式，并指出自變量t的取值范圍；
（3）若點F在矩形的邊BC上移動，當t為何值時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F、C、G為頂點的三角形相似？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，當t=1秒時，AE=2，EB=10，BF=4，FC=4，CG=2，

由S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG，

= × ﹣

= ×（10+2）×8﹣ ×10×4﹣

=24（cm2）

（2）解：①如圖1，當0≤t≤2時，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上移動，

此時AE=2t，EB=12﹣2t，BF=4t，FC=8﹣4t，CG=2t，

S=S梯形GCBE﹣S△EBF﹣S△FCG

= ×（EB+CG）BC﹣ EBBF﹣ FCCG

= ×8×（12﹣2t+2t）﹣ ×4t（12﹣2t）﹣ ×2t（8﹣4t）

=8t2﹣32t+48（0≤t≤2）．

②如圖2，當點F追上點G時，4t=2t+8，解得t=4，

當2＜t＜4時，點E在邊AB上移動，點F、G都在邊CD上移動，此時CF=4t﹣8，CG=2t，

FG=CG﹣CF=2t﹣（4t﹣8）=8﹣2t，

S= FGBC= （8﹣2t）8=﹣8t+32．

即S=﹣8t+32（2＜t＜4）

（3）解：如圖1，當點F在矩形的邊BC上的邊移動時，在△EBF和△FCG中，∠B=∠C=90°，

① 若 ，即 = ，

解得t= ．

所以當t= 時，△EBF∽△FCG，

②若 即 = ，解得t= ．

所以當t= 時，△EBF∽△GCF．

綜上所述，當t= 或t= 時，以點E、B、F為頂點的三角形與以F、C、G為頂點的三角形相似．

【解析】（1）當t=1時，根據點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，可求出S和t的關系．（2）根據點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，當點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止移動．設移動開始后第t秒時，△EFG的面積為S，求出S和t的關系式．（3）兩邊對應成比例夾角相等的三角形是相似三角形可求出解．
【考點精析】本題主要考查了三角形的面積和矩形的性質的相關知識點，需要掌握三角形的面積=1/2×底×高；矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等才能正確解答此題．