Question

【題目】如圖，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，且∠ACB=∠BEC=90°，AC=4 ，點P為線段BE延長線上一點，連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD，線段BE與CD相交于點F
（1）求證： ；
（2）連接BD，請你判斷AC與BD有什么位置關系？并說明理由；
（3）設PE=x，△PBD的面積為S，求S與x之間的函數關系式．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵△BCE和△CDP均為等腰直角三角形，

∴∠ECB=∠PCD=45°，∠CEB=∠CPD=90°，

∴△BCE∽△DCP，

∴

（2）

解：AC∥BD，

理由：∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°，

∴∠PCE=∠BCD，

又∵ ，

∴△PCE∽△DCB，

∴∠CBD=∠CEP=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠CBD，

∴AC∥BD；

（3）

解：如圖所示：

作PM⊥BD于M，

∵AC=4 ，△ABC和△BEC均為等腰直角三角形，

∴BE=CE=4，

∵△PCE∽△DCB，

∴ ，即 = ，

∴BD= x，

∵∠PBM=∠CBD﹣∠CBP=45°，BP=BE+PE=4+x，

∴PM= ，

∴△PBD的面積S= BDPM= × x× = x2+2x．

【解析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△BCE∽△DCP，進而得出答案；
　　　　（2）首先得出△PCE∽△DCB，進而求出∠ACB=∠CBD，即可得出AC與BD的位置關系；
　　　　（3）首先利用相似三角形的性質表示出BD，PM的長，進而表示出△PBD的面積．此題主要考查了相似形綜合、平行線的判定方法以及相似三角形的判定與性質等知識，正確表示出PM的長是解題關鍵．