Question

【題目】已知點為拋物線上一動點，以為頂點，且經過原點的拋物線，記作“”，設其與軸另一交點為，點的橫坐標為．

（1）①當為直角三角形時，________；

②當為等邊三角形時，求此時“”的解析式；

（2）若點的橫坐標分別為1，2，3，……（為正整數）時，拋物線“”，分別記作“”，“”…“”，設其與軸另一交點分別為，，…，過，，，…，作軸的垂線，垂足分別為，，，…，．

①的坐標為________，________；（用含的代數式表示）

②當時，求的值；

③是否存在這樣的，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）①，，②，③存在，

【解析】

（1）①易知是以P為直角頂點的等腰直角三角形，則P（m，m），代入即可求出m；

②當為等邊三角形時，則P（m，），代入求出m，可得P點和A點坐標，然后利用待定系數法求“”的解析式即可；

（2）①根據二次函數圖象上點的坐標特征及二次函數的對稱性可得答案；

②根據列方程求解即可；

③如圖，當時，，證明，求出，求出，即可解決問題．

解：（1）①∵為“”頂點，為直角三角形，

∴是以P為直角頂點的等腰直角三角形，

∴P（m，m），

代入得：，

∴；

②如圖1，過作軸于，

當是等邊三角形時，，

∴P（m，），

代入得：，

∴，

∴，，

設“”的解析式為：，

將代入得，，

解得：，

∴“”的解析式為：；

（2）①∵點為拋物線上的點，

∴，；

②∵，

∴，即，

解得：（舍去），，

∴；

③存在，

如圖，當時，，

∴，

∵坐標為，

把代入，得，

∴坐標為，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．