Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動點P從點C出發沿CD方向向點D運動，動點Q同時以相同速度從點D出發沿DA方向向終點A運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動.

（1）求AD的長；

（2）設CP=x，問當x為何值時△PDQ的面積達到最大，并求出最大值；

（3）探究：在BC邊上是否存在點M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請找出點M，并求出BM的長；不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）解法一：如圖1,過A作AE⊥CD，垂足為E .

        依題意，DE=.

        在Rt△ADE中，AD=.

        解法二：如圖2,過點A作AE∥BC交CD于點E，則CE=AB=4

        ∠AED=∠C=60°.

        又∵∠D=∠C=60°，

        ∴△AED是等邊三角形 .

        ∴AD=DE=9－4=5 . 

   （2）解：如圖1,

∵CP=x，h為PD邊上的高,依題意，△PDQ的面積S可表示為：

S=PD?h

=(9－x)?x?sin60°

=(9x－x²)

    =－(x－)²＋. 

由題意，知0≤x≤5 .  

當x=時（滿足0≤x≤5），S_最大值=.

（3）證法一：如圖3,假設存在滿足條件的點M，則PD必須等于DQ .

    于是9－x=x，x=.

    此時，點P、Q的位置如圖3所示，連QP .△PDQ恰為等邊三角形 .

     過點Q作QM∥DC，交BC于M，點M即為所求.連結MP，以下證明四邊形PDQM是菱形 .

     易證△MCP≌△QDP，∴∠D=∠3 . MP=PD

     ∴MP∥QD ,     ∴四邊形PDQM是平行四邊形 .

     又MP=PD ,    ∴四邊形PDQM是菱形 .

     所以存在滿足條件的點M，且BM=BC－MC=5－=. 

     證法二：如圖4,假設存在滿足條件的點M，則PD必須等于DQ . 

    于是9－x=x，x=.

此時，點P、Q的位置如圖4所示，△PDQ恰為等邊三角形 .

 

    過點D作DO⊥PQ于點O，延長DO交BC于點M，連結PM、QM，則DM垂直平分PQ，∴ MP=MQ .

   易知∠1=∠C .

   ∴PQ∥BC .

   又∵DO⊥PQ，  ∴MC⊥MD

   ∴MP= CD=PD

   即MP=PD=DQ=QM

  ∴四邊形PDQM是菱形

所以存在滿足條件的點M，且BM=BC－MC=5－=