Question

【題目】數軸是一個非常重要的數學工具，它使數和數軸上的點建立起對應關系，揭示了數與點之間的內在聯系，它是“數形結合”的基礎．在數軸上若點A、B分別表示有理數a、b ，在數軸上A、B兩點之間的距離AB=| a-b | ．結合數軸與絕對值的知識回答下列問題：

（1）數軸上表示﹣3和2的兩點之間的距離是_____；數軸上表示 x 和 -3 兩點之間的距離是_____；

（2）若a表示一個有理數，則|a+4|+|a﹣2|有最小值嗎？若有，請求出最小值；若沒有，請說明理由；

（3）當a =_____時，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣2|的值最小，最小值是_____．

Answer 1

【答案】(1)5， ；(2) 有，最小值是6； (3) 1， 6

【解析】

（1）直接根據數軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a-b|．代入數值運用絕對值即可求任意兩點間的距離．

（2）代數式|a+4|+|a﹣2|表示數軸上一點到4、-2兩點的距離的和，根據兩點之間線段最短，進而得出答案．

（3）依據絕對值的幾何意義回答即可．

解：（1）數軸上表示-3和2的兩點之間的距離是|-3-2|=5，數軸上表示x和-3的兩點之間的距離是|x-（-3）|=．

（2）代數式|a+4|+|a﹣2|表示數軸上一點a到-4和2兩點的距離和，根據兩點之間線段最短可知，有最小值為：2-（-4）=6.

（3）①當a≤-4時，原式=-a-4-a+1-a+2 =-3a-1，a=-4時，最小值為11；

②當-4＜a≤1時，原式=a+4-a+1-a+2=-a+7，a=1時，最小值為6；

③當1＜a≤2時，原式=a+4+a-1-a+2=a+5，a=1時，最小值為6；

④當a＞2時，原式=a+4+a-1+a-2=3a+1，a=2時，最小值為7；

綜上，當a =1時，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣2|的值最小，最小值是6．