Question

【題目】認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段，完成所提出的問題．

（1）如圖1，在△ABC中，O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，試證明∠BOC＝90°+

（2）如圖2中，O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試分析∠BOC與∠A有怎樣的關系？請說明理由．

（3）如圖3中，O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，則∠BOC與∠A有怎樣的關系？（只寫結論，不需證明）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BOC=，理由見解析；（3）∠BOC=90°－

【解析】

（1）利用△ABC和△BOC的內角和為180°進行角度轉化可得結論；

（2）設∠ABO=x，∠ACO=y，利用△ABC和△OBC的內角和，可得出2個關于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得；

（3）設∠DBO=x，∠ECO=y，利用△ABC和△OBC的內角和，可得出2個關于x、y、∠A、∠BOC的方程，消去x、y可得．

（1）∵OB、OC分別時∠ABC和∠ACB的角平分線

∴∠ABO=2∠1，∠ACB=2∠2

在△ABC中，∠A+2∠1+2∠2=180°，化簡得：∠A+2(∠1+∠2)=180°

在△BOC中，∠1+∠2+∠BOC=180°，化簡得：∠1+∠2=180°－∠BOC，代入上式得：

∠A+2(180°－∠BOC)=180°

化簡得：∠BOC=90°+

（2）設∠ABO=x，∠ACO=y

∵O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點

∴∠OBC=∠OBA=x，∠OCD=∠OCA=y，∠ACB=180°－2y

∴在△ABC中，∠A+2x+(180°－2y)=180°，化簡得：∠A=2(y－x)

在△BOC中，x+∠BOC+(180°－2y+y)=180°，化簡得：∠BOC=(y－x)

∴∠BOC=

（3）設∠DBO=x，∠ECO=y

同理，∠OBC=x，∠OCB=y，∠ABC=180°－2x，∠ACB=180°－2y

∴在△ABC中，∠A+(180°－2x)+ (180°－2y)=180°，化簡得：2(x+y)－∠A=180°

在△OBC中，x+y+∠BOC=180°，化簡得：x+y=180°－∠BOC，代入上式得：

∠A+2∠BOC=180°，即：∠BOC=90°－