Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓外一點，AC交⊙O于點D，BC2=CDCA，弦ED=弦BD，BE交AC于F.

(1)求證：BC為⊙O切線；

(2)判斷△BCF的形狀并說明理由；

(3)已知BC=15，CD=9，求tan∠ADE的值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△BCF為等腰三角形．證明見解析；（3）

【解析】

（1）由BC2=CDCA，根據三角形相似的判定得到△CBD∽△CAB，根據三角形相似的性質得到∠CBD=∠BAC，而AB為⊙O的直徑，根據圓周角定理的推論得∠ADB=90°，易證得∠ABD+∠CBD=90°，根據切線的判定即可得到答案；

（2）由，根據圓周角定理得∠DAE=∠BAC，由（1）得∠BAC=∠CBD，則∠CBD=∠DAE，根據同弧所對的圓周角相等得∠DAE=∠DBF，所以∠DBF=∠CBD，而∠BDF=90°，根據等腰三角形三線的判定即可得到△BCF為等腰三角形；

（3）由BC2=CDCA，BC=15，CD=9，可計算出CA=25，根據等腰三角形的性質有BF=BC=15，DF=DC=9，利用勾股定理計算出BD=12，得到AF=7，再根據等積可求出AE=，然后利用Rt△AEF∽Rt△BDF，通過相似比可計算出EF，則可得到BE，而∠ADE=∠ABE，最后利用三角函數的性質可計算出tan∠ADE的值．

（1）證明：∵BC2=CDCA，

∴BC：CA=CD：BC，

∵∠C=∠C，

∴△CBD∽△CAB，

∴∠CBD=∠BAC，

又∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，即∠BAC+∠ABD=90°，

∴∠ABD+∠CBD=90°，即AB⊥BC，

∴BC為⊙O切線；

（2）△BCF為等腰三角形．證明如下：

∵，

∴∠DAE=∠BAC，

又∵△CBD∽△CAB，

∴∠BAC=∠CBD，

∴∠CBD=∠DAE，

∵∠DAE=∠DBF，

∴∠DBF=∠CBD，

∵∠BDF=90°，

∴∠DBC=∠BDF=90°

∵BD=BD

∴△BDF≌△BDC

∴BF=BC

∴△BCF為等腰三角形；

（3）解：∵BC2=CDCA，BC=15，CD=9，

∴CA=25，BF=BC=15，DF=DC=9，

∴BD==12，

∴AF=25-18=7，

∴S△ABF=AEBF=AFBD，

∴AE=，

易證Rt△AEF∽Rt△BDF，

∴EF：DF=AF：BF，即EF：9=7：15，

∴EF=，

∴BE=15+=，

∵∠ADE=∠ABE，

∴tan∠ADE=tan∠ABE．