Question

【題目】如圖，點A、B、C在半徑為8的⊙O上，過點B作BD∥AC，交OA延長線于點D．連接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°．

（1）求證：BD是⊙O的切線；

（2）圖中線段AD、BD和圍成的陰影部分的面積＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OB，交CA于E，，根據圓周角定理求出∠BOA＝60°，根據∠BCA＝∠OAC＝30°和三角形內角和定理求出∠AEO＝90°，即OB⊥AC，根據BD∥AC，得到∠DBE＝∠AEO＝90°，可得BD是⊙O的切線；
（2）根據平行線的性質得到∠D=30°，解直角三角形求出BD，分別求出△BOD的面積和扇形AOB的面積，即可得出答案．

（1）證明：如圖示，連接OB，交CA于E，

∵∠C＝30°，∠C＝∠BOA，

∴∠BOA＝60°，

∵∠BCA＝∠OAC＝30°，

∴∠AEO＝90°，

即OB⊥AC，

∵BD∥AC，

∴∠DBE＝∠AEO＝90°，

∴BD是⊙O的切線；

（2）解：∵AC∥BD，∠OCA＝90°，

∴∠D＝∠CAO＝30°，

∵∠OBD＝90°，OB＝8，

∴BD＝OB＝8，

∴S陰影＝S△BDO﹣S扇形AOB＝×8×8﹣＝32﹣，

故答案為：．