Question

【題目】綜合與探究

問(wèn)題情境

在綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們探究“平面直角坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是矩形，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．

操作發(fā)現(xiàn)

以點(diǎn)為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，得到矩形，點(diǎn)，，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

繼續(xù)探究

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與交于點(diǎn)．

①求證；

②求點(diǎn)的坐標(biāo)．

拓展探究

（3）如圖①，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見(jiàn)解析；②；（3）存在，，，，

【解析】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到OB＝AC＝3，OA＝BC＝5，∠C＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到AD＝OA＝5，根據(jù)勾股定理求出CD，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OA＝DA，∠AOB＝∠ADE＝90°，利用HL定理證明△ADB≌△AOB；
②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD＝BO＝AC，根據(jù)△BDH≌△ACH，得到DH＝CH，根據(jù)勾股定理求出CH，得到點(diǎn)H的坐標(biāo)；

（3）分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)四邊形ADNM為菱形，且點(diǎn)N在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)；②當(dāng)四邊形ADNM為菱形，且點(diǎn)N在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)；③當(dāng)四邊形ADMN為菱形時(shí)，④當(dāng)四邊形ANDM為菱形時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．

（1）如圖①中，

∵，，

∴，，

∵四邊形是矩形，

∴，，，

∵矩形是由矩形旋轉(zhuǎn)得到，

∴，

在中，，

∴，

∴

（2）①如圖②中，

由四邊形是矩形，得到，

點(diǎn)在線段上，

，

由（1）可知，，又，，

∴

②∵，

∴，

又在矩形中，，

∴，

∴，

∴，設(shè)，則，

在中，∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（3）存在，

①當(dāng)四邊形ADNM為菱形，且點(diǎn)N在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，

∵AD=5，

∴ND=AD=AM=5，

又BD=1，

∴BN=5-1=4，

∵點(diǎn)M在x軸上，

∴DN∥AM，

∴N（-4,3）

②當(dāng)四邊形ADNM為菱形，且點(diǎn)N在點(diǎn)D右側(cè)時(shí)，

∵AD=5，

∴ND=AD=AM=5，

又BD=1，

∴BN=5+1=6，

∵點(diǎn)M在x軸上，

∴DN∥AM，

∴N（6,3）

③當(dāng)四邊形ADMN為菱形時(shí)，

∵點(diǎn)M在x軸上，

∴點(diǎn)D與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，

∵D（1，3）,

∴N（1，-3）

④當(dāng)四邊形ANDM為菱形時(shí)，則MN⊥AD，

∵AM∥DC，點(diǎn)M在x軸上，

∴點(diǎn)N在BC上，DN=AN，

設(shè)CN=a，則DN=AN=4-a，

∴,即，解得：a=,

∴BN=，

故

綜上所述：，，，